一、開展數學課外活動的意義(yi) 和作用
數學教育的目標主要表現為(wei) 使學生掌握知識和提高能力兩(liang) 方麵。但是，要想高質量地實現教育目標，僅(jin) 靠通常為(wei) 完成教學進度而設置的課堂教學是不夠的。這是因為(wei) 傳(chuan) 統的課堂教學本身有局限性：
(1)為(wei) 在確定的時間內(nei) 完成教學計劃，傳(chuan) 統的課堂教學內(nei) 容常常安排得過滿，不利於(yu) 充分發揮教與(yu) 學雙方的積極性和主動性。
(2)傳(chuan) 統教材雖然經過了反複推敲，形成了比較完整的理論體(ti) 係，有利於(yu) 實施循序漸進的完整的教學過程，但是傳(chuan) 統教材不大容易改動，不能經常反映出數學的新思想、新進展，因而限製了學生思維水準的發展。
(3)任何一個(ge) 地區，任何一個(ge) 教學班，對數學的學習(xi) 興(xing) 趣、學習(xi) 能力、學習(xi) 效果，學生之間存在著明顯的差異。而傳(chuan) 統的課堂教學必須麵對大多數學生的實際水準，結果會(hui) 有部分學生“吃不飽”，如果不注意對這部分學有餘(yu) 力的學生的培養(yang) ，很可能挫傷(shang) 他們(men) 求知的積極性，甚至可能埋沒人材。
(4)現階段，傳(chuan) 統的課堂教學還沒能從(cong) 根本上擺脫高考“指揮棒”的控製，因此從(cong) 一定意義(yi) 上來說，傳(chuan) 統的課堂教學教給學生的是如何應付考試，這是與(yu) 全麵實現數學教育的目標背道而馳的。
(5)長期以來，不少中學數學教師習(xi) 慣於(yu) 教授傳(chuan) 統的內(nei) 容，適應傳(chuan) 統的課堂教學環境，教學方式也是幾十年一貫製，缺少創新精神，缺少時代氣息。這樣，當然很難培養(yang) 出具有創造力的優(you) 秀學生。
為(wei) 彌補傳(chuan) 統的課堂教學的上述局限性，在有條件的學校，應提倡積極開展數學課外活動。
實踐表明：教學基礎越好、教學質量越高的學校，一般說來，那裏的數學課外活動開展得也好，反過來，生動而又豐(feng) 富的數學課外活動又促進了傳(chuan) 統課堂教學質量的提高，這項活動有助於(yu) 形成教學相長的局麵。
應當看到，傳(chuan) 統的課堂教學正在不斷改革，從(cong) 教材、教法到質量評估等各方麵正時刻向舊有的傳(chuan) 統、保守思想挑戰。因此在實現數學教育總目標的過程中，課堂教學總是“主渠道”，而課外教學則起輔助作用。但是也應當看到，隨著教育製度特別是高考製度的不斷改革，隨著數學課外活動的廣泛開展，數學課外活動在培養(yang) 人材上所起的作用將越來越大。
數學課外活動，應當充分調動學生的積極性，激發他們(men) 的求知欲和創造性。從(cong) 教學對象、教材教法上要與(yu) 正規的課堂教學有明顯區別，決(jue) 不能成為(wei) 變相的加課時，也不能成為(wei) “補課”活動。因此，對數學教師的要求更高了，他們(men) 不僅(jin) 要能勝任課堂教學，而且要能獨立地、有創造力地開展形形色色的數學課外活動，1988年國家教委頒布的中學教師職稱評定標準及說明意見中明確把“獨立開展數學課外活動，並取得顯著成績”作為(wei) 申報高級職稱的必要條件。由此也可以看出，指導學生開展數學課外活動是中學數學教師的重要職責。
二、數學課外活動的形式和內(nei) 容
中學數學課外活動主要有三個(ge) 形式：開展課外數學選修課，建立課外數學興(xing) 趣小組，創辦學生的數學刊物、數學園地。
(1)數學選修課的主要活動方式和內(nei) 容是：教師係統地講授中學課本之外的某一個(ge) 數學分支和某一個(ge) 專(zhuan) 題，以開闊學生眼界，也可以介紹數學新進展，介紹新學科及新的數學思想。例如，高一結合函數教學可開設函數方程初步；結合集合基本知識的教學可開設邏輯學和初等集合論；結合立體(ti) 幾何可開設拓撲學初步等。高二可結合數列知識開設循環數列課，可介紹母函數的研究方法以及常微分方程與(yu) 線性遞推關(guan) 係；結合解析幾何課可開設三維解析幾何學，開設向量理論等；結合方程組可開設矩陣論初步及線性代數等；還可在適當時機開設微積分課。選修課的參加人數可適當多些，除去在學習(xi) 中確有困難、急需補課或個(ge) 別輔導的學生外，都可報名參加選修課。選修課的主講教師應當熟悉該選修課的知識，應當有係統的教案。一門選修課的學時應不少於(yu) 20學時，在選修課期間以及結束階段，要對學生進行選修課業(ye) 務考試。合格者發給選修課(單科)結業(ye) 證書(shu) 。
(2)數學課外興(xing) 趣小組應由較少學生組成，他們(men) 一般應對數學有較濃厚興(xing) 趣，並且其他各門功課都要比較好。這個(ge) 小組的成員應由自己報名與(yu) 數學教師推薦相結合。課外興(xing) 趣小組的活動方式和內(nei) 容主要有：聽專(zhuan) 題報告(學術報告)會(hui) 、訪問著名數學家或著名數學研究機構(或大學)、開展數學競賽、撰寫(xie) 數學小論文以及開展內(nei) 部小型的學術研討會(hui) 等。小組成員在各級數學競賽中取得較好成績，要及時予以鼓勵。小組成員完成了一篇較好的數學論文，應推薦給有關(guan) 適於(yu) 中學生的數學刊物。
(3)創辦學生的數學刊物，包括班內(nei) 的數學牆報，“數學之角”，“數學信箱”等，刊物的編輯、作者全由學生擔任。學生自己創辦的數學刊物應當堅持長期性和延續性，要充分表現學生們(men) 的“研究成果”。為(wei) 吸引更多同學，可設立“點將台”、“有獎征解”等。為(wei) 確保一個(ge) 班的數學刊物的質量，為(wei) 保證其長期性和延續性，最好組成以班內(nei) 的學習(xi) 委員、數學課代表及數學拔尖學生為(wei) 核心的編寫(xie) 隊伍。如果條件較好，還可采取“輪流坐莊”的方式。班內(nei) 數學牆報的內(nei) 容除了部分地在公開發行的數學書(shu) 刊中摘錄之外，還應有相當部分針對性很強，並且直接來自同學自己的文章。例如：“談談記筆記”，“如何解決(jue) 計算中容易出錯的問題”，“我是怎樣掌握×××概念的”，“第×章數學課學習(xi) 劄記”，“讀××(數學課外書(shu) )的體(ti) 會(hui) ”等。數學教師充當班內(nei) 數學園地的參謀或顧問。幫助同學出主意，想辦法，給他們(men) 介紹好的資料，推薦好的參考書(shu) 。
應當指出，開辦數學課外選修課，建立數學課外興(xing) 趣小組，創辦學生的數學刊物這三種課外活動形式，教師所處的位置是不同的。選修課，以教師講述為(wei) 主；興(xing) 趣小組，以教師激發學生，引導學生為(wei) 主；創辦學生的數學刊物，教師則主要是處於(yu) 幕後策劃的地位。
這三種活動方式的參加人員也不同。選修課的參加者以數學學習(xi) 的中上等學生為(wei) 主，人數可多些。數學興(xing) 趣小組則以在數學學習(xi) 中有興(xing) 趣、有特長的少數拔尖學為(wei) 主。在有條件的地區，教師還應當幫助他們(men) 利用課餘(yu) 時間到省、市級的數學集訓隊或數學奧林匹克學校中學習(xi) ，形成校內(nei) 外的交叉培訓過程。學生自己創辦的數學刊物的主要負責人應當是工作熱心，有負責精神，而且數學成績較好的學生。
還應指出，為(wei) 減輕學生負擔，數學課外活動的密度不宜過大，每次活動要講求質量，要貫徹少而精的原則。一般說來，每周進行一次活動，每次活動一至兩(liang) 個(ge) 小時為(wei) 宜。每個(ge) 學生，一般不要參加兩(liang) 種或兩(liang) 種以上的課外活動。
三、開展數學課外活動應注意的問題
(1)開展活動的指導思想是激發學生的求知欲，幫助他們(men) 讀書(shu) 、整理資料、做學問，從(cong) 長遠的觀點看，這是改善學生的思維品質，提高學生的治學能力的根本大事。因此，必須以學生為(wei) 主體(ti) 。
(2)各種活動都應有長計劃、短安排、要講求實效，要有知識性、趣味性，要適合青少年心理上或知識水平上的實際情況。還要注意盡量與(yu) 當前學生的數學課內(nei) 的教學內(nei) 容有一定聯係。
(3)對參加各種課外活動的學生要逐一審查他們(men) 是否具備參加該項課外活動的條件。對於(yu) 那些趕時髦，圖熱鬧，但學習(xi) 比較吃力的學生，則要以適當方式勸阻他們(men) 不參加課外活動，以保證他們(men) 的課內(nei) 學習(xi) 能達到基本要求，這就是說，對參加不參加課外活動的每個(ge) 學生都要負責任。
(4)除對學生進行數學培訓外，還要注意參加課外活動的學生其他各方麵的成長。有少數數學尖子，有一種優(you) 越感。他們(men) 有時組織紀律性不強，還有的人可能會(hui) 出現偏科現象。要針對這些情況多做思想教育工作，防止他們(men) 的驕傲情緒，克服他們(men) 的自由主義(yi) ，鼓勵他們(men) 多參加班集體(ti) 活動，促進他們(men) 全麵發展。
(5)課外興(xing) 趣小組活動或選修課的內(nei) 容應充實，有係統性，便於(yu) 學生掌握，同時便於(yu) 教師檢查學習(xi) 質量；還要有一定的針對數學競賽的專(zhuan) 項訓練內(nei) 容，不應當簡單地把中學課本中以後將學的內(nei) 容提前來講，也不要講成高等數學課。要在中學生的實際知識基礎和實際接受能力的基礎上，以提高能力這個(ge) 總目標作為(wei) 選材的依據。
附錄
下麵是1990年北大附中推薦去北京市參評的學生數學小論文的題目及要點。其中張昱的論文《一個(ge) 數學難題的物理模型證法》獲北京市論文一等獎，王哲的《利用小型計算機計算無理數π的改進程序設計》獲二等獎。
(1)《一個(ge) 數學難題的物理模型證法》(張昱)
該文成功地用物理模型的方法，借助電學定律解決(jue) 了一個(ge) 著名的數學難題，並對原題結論做了推廣。這個(ge) 問題是：在一個(ge) 無限大的方格表中，每格內(nei) 填入一個(ge) 區間〔0，1〕上的實數，使得每格所填的數都恰好是該格四周鄰格內(nei) 四個(ge) 數的算術平均值，求證各格內(nei) 所填之數相等。
張昱不僅(jin) 證明了這個(ge) 題目，並且推廣如下：
二元數組aij≥0(i,j∈z),a0,0=1,且對任何i,j∈z,有aij=1/4(ai+1,f+aj,j+1+ai-1,f+ai,f-1)，那麽(me) ai,f與(yu) 1應當任意接近。
(2)《利用小型計算機計算無理數π的改進程序設計》(王哲)
該文利用自己設計的算式π=16arctg(1/5)-4arctg(1/239)，使計算π的速度得以提高，作者選用的C語言，並在小型計算機VAX-8550上通過了程序。隻用4分30秒的CPU時間，成功地印出了π的小數點後1000位的精確值。後來，又改進了程序，使完成同樣任務隻用8秒鍾。
(3)《空間n邊形的邊中，互相垂直的邊有多少對?》(施前)
這是組合幾何中尚未得到的研究成果。設m表示互相垂直的邊對的數目。n,k∈N,n為(wei) 空間多邊形的邊數。論文得出了
n=3時，m=1；
n=4時，m=4；
n=5時，m=7；
n=3k(k≥2,k∈N)時，m=3k2；
n=3k+1(k≥2,k∈N)時，m=k(3k+2)；
n=3k+2(k≥2,k∈N)時，m=3k2+4k+1
(4)《多項式最高公因式的新算法》(夏煜)
本文對輾轉相除法進行了推廣，使之易於(yu) 編程序。作者首選定義(yi) 了“多項式數陣”的概念，並且規定了對多項式數陣的五種運算；提出了兩(liang) 個(ge) 對“標準數陣”的變形定理，進而將某些多項式提出了隻用六步規範程序，便可求出其最高公因式的方法。
(5)《橋牌中的概率問題》(朱誌明)
一手牌(13張)都是同花色的概率容易計算。但是一手牌最大可能的結果是什麽(me) 形式?這一個(ge) 問題連最優(you) 秀的橋牌選手都未必能回答出。另一個(ge) 問題是：如果知道了兩(liang) 個(ge) 人手中某一指定的花色的牌的數目，如何推算出其餘(yu) 牌在對方的兩(liang) 個(ge) 人手中的分布?再一個(ge) 問題是：如果知道了自己手中某花色的牌數，如何推算出自己同伴手中該花色最大可能的數目。本文給出了上述問題的準確回答。
(6)《拋物線內(nei) 隱含圖形的探討》(孫偉(wei) 棟)
給定的拋物線，當旋轉坐標軸時，拋物線中的某些基本線段(如過焦點的正焦弦)會(hui) 形成“隱圖形”、該文運用微積分知識，結合解析幾何的方法得出了類似星形線的隱含圖形，指出了該“隱圖形”的較一般的規律。
(7)《三角形中邊不等式證明方法的改進》(王誌宏)
本文以熟知的結論：“a+b＞c,b+c＞a,c+a＞b”為(wei) 基礎，通過拚、接、組合，推出了許多三角形邊的不等式，成功地解決(jue) 了某些數學競賽中的問題。是幾何不等式中的一個(ge) 貢獻。
僅(jin) 通過這七篇論文，可以看出北大附中的課外興(xing) 趣小組的活動內(nei) 容廣泛，學生的思路開闊，且有一定創見。正是在這種興(xing) 趣小組中，湧現出了不少在競賽中的勝利者。這些學生一級又一級從(cong) 北大附中畢業(ye) 了。在各高等院校或者在國外的大學中，也都是成績優(you) 秀的學生。
應該說明，數學課外活動、數學興(xing) 趣小組不僅(jin) 僅(jin) 是為(wei) 了參加競賽。像北大附中這樣的中學，在全國畢竟為(wei) 數不多，雖然所取得的成績說明課外活動對提高數學教學質量、培養(yang) 優(you) 秀人才是有重要作用的，但就全國的數學教育而言，還是應該把打好基礎、大麵積提高數學教學水平放在重要地位，數學課外活動應該著重為(wei) 這一目標而開展。
同時，應該明確，開展數學課外活動也要作長期打算。麵對當前的新問題、新內(nei) 容，配合課內(nei) 基礎知識教學和能力培養(yang) ，應當取得教育行政與(yu) 社會(hui) 各界的支持，采取有效措施，積極探索、實踐、研究、總結數學課外活動，把全國的數學教育水平進一步提高。